Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
  
  
• El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
  
  
• La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
  
  

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas (o recíprocas) son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

• Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
• Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
• Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

Relación entre razones trigonométricas

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Relaciones trigonométricas básicas

• Identidad fundamental de la trigonometría
  
  
• Relación entre el seno, coseno y tangente
  
  
• Relación trigonométrica entre la tangente y la secante
  
  
• Relación trigonométrica entre la cosecante y la cotangente
  
  

Ángulos complementarios

• Seno del ángulo complementario:
  
  
• Coseno del ángulo complementario:
  
  
• Tangente del ángulo complementario:
  
  
• Cosecante del ángulo complementario:
  
  
• Secante del ángulo complementario:
  
  
• Cotangente del ángulo complementario:
  
  

Ángulos suplementarios

• Seno del ángulo suplementario:
  
  
• Coseno del ángulo suplementario:
  
  
• Tangente del ángulo suplementario:
  
  
• Cosecante del ángulo suplementario:
  
  
• Secante del ángulo suplementario:
  
  
• Cotangente del ángulo suplementario:
  
  

Ángulos conjugados

• Seno del ángulo conjugado:
  
  
• Coseno del ángulo conjugado:
  
  
• Tangente del ángulo conjugado:
  
  
• Cosecante del ángulo conjugado:
  
  
• Secante del ángulo conjugado:
  
  
• Cotangente del ángulo conjugado:
  
  

Ángulos opuestos

• Seno del ángulo opuesto:
  
  
• Coseno del ángulo opuesto:
  
  
• Tangente del ángulo opuesto:
  
  
• Cosecante del ángulo opuesto:
  
  
• Secante del ángulo opuesto:
  
  
• Cotangente del ángulo opuesto:
  
  

Ángulos que difieren 90º

• Seno del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Coseno del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Tangente del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Cosecante del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Secante del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Cotangente del ángulo que difiere 90º:
  
  

Ángulos que difieren 180º

• Seno del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Coseno del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Tangente del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Cosecante del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Secante del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Cotangente del ángulo que difiere 180º:
  
  

Transformaciones de razones trigonométricas

• Suma en producto
  
  
  
  
  
  
  
  
• Producto en suma
  
  
  
  
  
  
  
  

Razones trigonométricas del ángulo suma

• Seno del ángulo suma:
  
  
• Coseno del ángulo suma:
  
  
• Tangente del ángulo suma:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo resta

• Seno del ángulo resta:
  
  
• Coseno del ángulo resta:
  
  
• Tangente del ángulo resta:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo doble

• Seno del ángulo doble:
  
  
• Coseno del ángulo doble:
  
  
• Tangente del ángulo doble:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo mitad

• Seno del ángulo mitad:
  
  
• Coseno del ángulo mitad:
  
  
• Tangente del ángulo mitad:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo triple

• Seno del ángulo triple:
  
  
• Coseno del ángulo triple:
  
  
• Tangente del ángulo triple:
  
  

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a² =  b²+c². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

Sacado de: https://goo.gl/9nhNTc